Segera

Simetri dalam Matematika III


Belajar tanpa berpikir adalah pekerjaan yang hilang; Berpikir tanpa belajar itu berbahaya.

BINGUNG (551-479 SM), Analekta.

… “Sangat menarik bahwa struktur aljabar memuaskan keinginan kita untuk memecahkan semua persamaan polinom secara simetris, tetapi untuk apa semua penjelasan ini?”.

Trik untuk menyelesaikan persamaan x2 + 1 = 0 adalah membayangkan garis bilangan kedua, yang dapat direpresentasikan tegak lurus terhadap garis bilangan real pada bidang Euclidean. Baris kedua ini berisi angka imajiner (nama yang dipilih dalam sejarah karena untuk waktu yang lama alasan keberadaan angka-angka ini adalah misteri) ..., -3saya, -2saya, -saya, 0, saya, 2saya, 3saya, ... Apakah kelipatan dari unit imajiner saya. Tapi ini bukan satu-satunya kelipatan saya. Setiap bilangan real dapat dikalikan dengan saya. Misalnya, hal saya adalah kelipatan dari saya, atau belum, Ö 2 saya, akar kuadrat dari 2 kali saya. Dalam baris tambahan ini, tegak lurus terhadap garis bilangan real dalam bidang Euclidean, terletak semua bilangan imajiner murni. Artinya, angka-angka yang diciptakan untuk menyelesaikan persamaan x2 + a = 0 dimana itu adalah bilangan real positif. Karena kami ingin baris ini memiliki kemiripan yang besar dengan baris yang sebenarnya sudah kami ketahui, baris ini harus berisi persis satu salinan dari yang sebelumnya. Kita dapat memahami salinan ini dengan sangat mudah: bayangkan bahwa garis real 1 digantikan oleh unit imajiner saya. Oke, sekarang bayangkan saja bilangan real itu apa saja dan salinan imajiner Anda itu saya. Secara aljabar, jika kita gandakan itu saya olehb saya, kami mendapatkan (itu saya) (b saya) = ab saya2 = - ab. Adapun jumlah dari dua imajiner murni yang kita miliki, dengan mudah, dengan meniru jumlah sebenarnya: itu i + b saya = (itu + b) saya. Dengan demikian kita memiliki simetri sempurna antara garis nyata dan garis imajiner. Mari kita perhatikan bahwa kata "imajiner" hanyalah mode ekspresi karena garis imajiner benar-benar tidak imajiner, karena itu adalah garis sederhana yang tegak lurus dengan garis nyata yang sudah akrab bagi kita dalam geometri Euclidean.

Baiklah, tapi bagaimana dengan poin lain dari rencana Euclidean? Untuk saat ini kami hanya menggunakan dua garis, saling tegak lurus, dari bidang Euclidean. Apa yang harus dilakukan dengan poin lain dari rencana ini? Nah, pertanyaan alami yang jatuh matang untuk ditanyakan di sini adalah: dapatkah kita melakukan sesuatu dengan mereka? Mengapa tidak mencoba melakukan hal yang sama dengan yang kita lakukan dengan bilangan real, seperti menambah, mengalikan, membagi, menghitung kekuatan, mengekstraksi kuadrat, akar kubik, dll.? Kami memiliki panduan yang sangat baik yang merupakan struktur aljabar bilangan real, dan kami dapat, meniru semua yang terjadi dalam struktur itu, mencoba mentransplantasikannya ke bilangan kompleks, yaitu, ke titik-titik pesawat. Sebelum kita memulai petualangan ini, mari kita mengingat kembali sifat-sifat dasar struktur bilangan real. Meniru bilangan real adalah satu-satunya cara kita dapat berhasil dengan struktur bilangan imajiner atau kompleks.

Bilangan real memiliki struktur tubuh. Apa itu tubuh? Ini adalah seperangkat simbol yang dapat dimanipulasi sesuai dengan aturan tertentu. Hanya ada dua operasi: penambahan "+" dan perkalian "'". Simbol dapat dibayangkan sebagai titik dari garis Euclidean. Ada dua simbol khusus: 0 dan 1. Sebenarnya, 0 bekerja di samping 1 dalam perkalian, yaitu, kita memiliki simetri perilaku yang hampir sempurna dari kedua simbol ini. Kami mengatakan "dua" tetapi kami belum tahu itu. Artinya, kita belum membahas mengapa mereka berbeda. Ini adalah ide dasar matematika yang sangat menarik. Mengapa 0 harus berbeda dari 1? Faktanya, tidak ada alasan untuk itu. Kalau tidak, mari kita lihat: jika 0 sama dengan 1, maka 2 = 1 + 1 = 0 + 0 = 0, yaitu, tidak ada angka baru yang dihasilkan dengan menambahkan unit 1 ke dirinya sendiri! Ini menyebabkan struktur yang dihasilkan oleh 1, yang sama dengan 0, runtuh membentuk satu set hanya simbol tunggal {0} = {1}. Sekarang apa yang harus dilakukan dengan satu set hanya satu simbol? Paling-paling itu akan memodel semesta hanya satu objek ...! Oleh karena itu, tidak ada kontradiksi dalam mengidentifikasi 0 dengan 1. Satu-satunya kelemahan adalah bahwa struktur yang dihasilkan dalam kasus ini tidak lucu. Matematikawan akan mengatakan:itu adalah struktur yang tidak menarik" Tidak menarik karena tidak ada pola untuk ditemukan dan dipelajari. Simetri adalah total. Ketika simetri struktur adalah total, atau terlalu sempurna, kita tidak dapat mendeteksi apa pun di dalamnya. Ini seperti membayangkan sebuah lingkaran dan memutarnya dari sudut 45 derajat: apa perbedaan antara keduanya? Tidak ada Tetapi jika Anda memutar kotak dari sudut 45 derajat, apa perbedaan antara keduanya? Nah, sekarang kita melihat berlian (yang masih kotak dalam hal ini, tetapi nuansa visualnya sangat berbeda) ...! Ini adalah kunci untuk memahami mengapa "ide pemecahan simetri" telah begitu sukses dalam fisika selama 50 tahun terakhir. Realitas yang dirasakan manusia tampaknya "simetri yang telah dipatahkan". Karena itu, pertanyaan besar adalah di mana simetri tersembunyi itu? Kita dapat menganggap "struktur runtuh 0 = 1" sebagai kesimetrian total yang sempurna. Konsekuensi utama dari ini adalah bahwa kita tidak dapat memikirkan hal lain. Tidak ada yang diperhatikan, tidak ada yang harus ditanyakan, tidak ada petunjuk untuk pola yang menarik. Satu-satunya pola turun ke operasi membosankan itu + itu = 0 = itu ' itu = 0 = 1 + 1 = 1 = 0 + 0 = 0 ' 1 = 1 ' 1 = 1 = 0 = itu. Artinya, tidak ada kenyataan, tidak ada yang lain selain titik 0 = 1, dan tidak ada yang lolos dari titik itu, dan tidak ada yang menarik terjadi pada titik itu.

Salah satu cara untuk melepaskan diri dari kelesuan ini adalah membayangkan sebuah alam semesta di mana saya bukan 0. "Hipotesis tak berdosa" ini saja, tiba-tiba memberi kita angin puyuh kemungkinan. Pertanyaan pertama, tentu saja, adalah: jika 1 bukan 0, lalu berapa 1 + 1? Seketika kita jatuh ke dalam situasi yang sangat kaya di mana petunjuk pola menarik memancar, tetapi ketidakpastian tentang struktur yang mungkin tetap ada. Artinya, kita perlu memutuskan kemungkinan yang akan kita selidiki. Petunjuk apa untuk menemukan kenyataan yang akan kita ikuti. Melanjutkan penelitian ini mengharuskan kami menjawab pertanyaan: Apakah 1 +1 berbeda dari 1? Kita dapat mengatur pemikiran kita dengan cara sederhana dengan berargumen bahwa karena hanya dua simbol, 0 dan 1, mengisi jagat raya kita untuk saat ini, sangat penting untuk memutuskan apakah 1 + 1 akan menjadi entitas baru. Selain itu, pertanyaan yang sama berlaku untuk kasus 0 + 1, 0 '1, 1' 1, 0 '0 dan 0 + 0: akankah yang baru juga dihasilkan di sini? Tubuh adalah struktur dengan dua operasi, penjumlahan dan perkalian, dengan masing-masing elemen netral 0 dan 1, dan memenuhi sifat-sifat tertentu. Dengan menganggap 0 dan 1 sebagai elemen netral, kami telah menyelesaikan setengah dari masalah sebelumnya. Yaitu, pertanyaan secara otomatis diselesaikan: 1 '1 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, 1' 0 = 0. Perhatikan bahwa 0 dan 1 adalah elemen netral, masing-masing, dari penambahan dan perkalian. Misalnya, 1 '0 = 0 karena 1 adalah elemen netral dari perkalian, sehingga tidak mempengaruhi angka yang digunakan untuk mengalikan. Secara simetris, 0 +1 = 1, karena 0 juga netral. Masalah apakah 1 +1 berbeda dari 1 jauh lebih menarik. Kami telah membahas dalam kolom sebelumnya kasus-kasus di mana 1 + ... + 1 dapat 0. Ini adalah struktur angka hingga. Kita sekarang memulai diskusi tentang kasus di mana 1 + ... + 1 tidak pernah 0, berapapun jumlah plot dalam jumlah ini, yaitu, kasus tubuh nyata.

Kembali ke kolom

<

Video: SIMETRI LIPAT DAN SIMETRI PUTAR (Mungkin 2020).